• Можно ли собрать контроллер без материнской платы?

Можно. В принципе вы можете подключить Arduino напрямую к силовой части и часам и устройствам ввода вывода. Материнская плата предназначена для простоты использования и монтажа в корпус.

Ниже представлено описания задействованных контактов на плате:

D6 (10), D7(11),D8(12), D9(13), D10(14), D11(15), D12(16), D13(17) - каналы используются для силовой части (реле).

D5(9) - switchPin (кнопка джойстика)

D4(8) - tonePin (канал спикера)

D3(7) - температурные датчики

A7(23), A6(24) - X,Y джойстика 

A4(27),A5(28) - I2C шина, используется для подключения экрана и модуля часов.

TDX(31), RDX(30) - UART шина для обмена данных с WiFI модулем

• Можно ли прошить чип без программатора?

В принципе можно. Однако только прошивки для младшей модели устройства AQ_CH04L либо прошивки без поддержки модуля связи, для старших устройств. Остальные прошивки шьются только через программатор USBasp Более подробную информацию можно получить на форуме.

• Можно подключить WiFi модуль без использования материнской платы?

Можно. Однако надежность и безотказность такой системы будет крайне низкая. Для обвязки ESP8266 используется следующая схема:

Так же стоит отметить чувствительность чипа к качеству питания.

• Можно ли использовать двух строчные LCD вместо четырех строчных?

При инициализации дисплея мы явно указываем количество строк и символов в строке поддерживаемым данным дисплеем. Поэтому ответить что будет если подключить дисплей другого типа, я не берусь...

• Что делать если у моего экрана I2C переходник имеет нестандартный адрес?

Ничего. Прошивка при первом запуске, сканирует адрес подключенного дисплея и в последующем будет использовать его при подключении и инициализации. Однако, при первом запуске прошивки вам необходимо подключить к шине I2C только дисплей, остальные устройства, часы или что-то еще, должны быть подключены после первого запуска.

• Какой блок питания использовать для подключения контроллера?

Хороший 5V импульсный блок питания. Для питания платы со всеми подключенными устройствами рекомендуемая мощность не менее 700mA. 

• Можно ли использовать другие типы чипов, плат, и.т.п.?

Чип однозначно должен быть atmega328p. Так же рекомендуется использовать все же Arduino nano, так как прошивка писалась и тестировалась только для этих плат.

• Мне не хватает функционала, не могли бы вы...?

Мог бы, но к сожалению мне функционала, хватает.

• Есть ошибки или проблемы в работе устройства, что делать?

Писать на форум или напрямую через контакты или форму обратной связи.

• Кажется я спалил чип, что делать?

Есть два варианта, устройство включается, горит диод питания: вы просто запороли bootloader, и вам нужно его просто заново залить через программатор, либо через донора, в сети куча инфы, читаем, разбираемся, либо спрашиваем на форуме. Если программатор не может залить bootloader, при условии что он подключен теперь правильно: то тогда все печально. Вариант второй: устройство не включается, диод питания не горит. Что же скорее всего на 99% что вы чертовски правы...

• У меня остались еще вопрос, куда писать?

Форум. 

• Я хочу сделать себе такой контроллер, но ничего не понимаю в  этом, что делать?

Купить готовый, распаянный и прошитый...